Для уровней подготовки:
Бакалавриат Специалитет
Общая трудоемкость курса, акад.ч.: 72
Лекции, акад.ч.: 16
Практические занятия, акад.ч.: 16
Самостоятельная работа, акад.ч.: 40
Вид итогового контроля: Зачет с оценкой
Цели курса:
-
формирование у обучающихся системы понятий и профессиональных знаний о методах исследования и решения дифференциальных уравнений в частных производных (УрЧП), важнейших математических моделях в естествознании, применении методов решения УрЧП в химии и химической технологии.
-
Ведущий преподаватель: Т.Ф. Бурухина
Задачи курса:
-
изучить основные понятия теории УрЧП
-
изучить обобщенную постановку задач Коши, краевых задач, смешанных задач для УрЧП
-
освоить методику решения и исследования краевых и начальных задач для УрЧП и исследования качественных свойств их решений
-
подготовить обучающихся к применению полученных знаний для решения задач химии и химической технологии
Базовые знания:
освоение курса базируется на теоретических знаниях и практических навыках в области дифференциального и интегрального исчисления, обыкновенных дифференциальных уравнений, функциональных рядов и физики.
Содержание курса:
1. Периодические функции и их свойства. Понятие тригонометрической системы, тригонометрического ряда. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Ряд Фурье для периодической функции. Достаточные условия сходимости ряда Фурье к исходной функции. Условия Дирихле. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Разложение в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам. Примеры разложения функции в ряд Фурье.
2. Основные понятия, связанные с УрЧП и методами их решения. Линейные и квазилинейные УрЧП I порядка. и свойства их решений. Теоремы об общем решении ЛОУрЧП и ЛНУрЧП I порядка. Геометрическая интерпретация линейных УрЧП I порядка. Решение задачи Коши.
3. Линейные УрЧП II порядка; свойства их решений. Классификация ЛУрЧП II порядка, приведение их к каноническому виду. Решение задачи Коши. Основные типы уравнений математической физики. Понятие корректности задачи, начальные и краевые условия при постановке задач математической физики. Вывод уравнения поперечных колебаний струны (волнового уравнения). Постановка смешанной задачи. задача Коши для волнового уравнения (случай бесконечной струны), ее решение. Формулы Даламбера.
4. Задача Штурма-Лиувилля, свойства ее решений. Метод Фурье решения смешанной задачи для волнового уравнения (для струны конечной длины). Решение задачи о вынужденных колебаниях струны методом разложения по собственным функциям. Уравнения гидродинамики. Вывод уравнения теплопроводности (для стержня конечной длины). Постановка смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Уравнения диффузии, граничные условия в задачах диффузионного типа. Метод Фурье решения уравнения теплопроводности. Неоднородное уравнение теплопроводности, его решение методом разложения по собственным функциям. Общая краевая задача для уравнения теплопроводности. Преобразование неоднородных граничных условий к нулевым.
5. Уравнения эллиптического типа. Уравнение Лапласа, его вид в различных системах координат. Гармоническая функция. Формул Грина, основная интегральная формула для гармонической функции. Свойства гармонических функций. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа. Задачи Дирихле и Неймана. Метод Фурье решения уравнения Лапласа для прямоугольника. Решение уравнений Лапласа для кольца. Внутренние задачи Дирихле и Неймана для круга. Интеграл Пуассона. Задачи естествознания, приводящиеся к уравнению Лапласа.
